Inledning

Många kursplaner i matematik världen över speglar Bruners (1966) spiralprincip för undervisning, där olika begrepp presenteras för eleverna. Begreppen upprepas sedan i stort sett varje termin, och fördjupas vid varje tillfälle.  På så sätt kan en kunskapsutveckling för eleverna ske för varje begrepp och en relevant uppföljning av varje elevs framsteg kan genomföras. Uppföljningen kan sedan användas som grund för lärarens nästa steg i undervisningen.  Den internationella forskningen (Desoete, Ceulemans, De Weerdt och Pieters 2012, Koponen, Mononen, Räsänen och Ahonen 2006,  Maloney och Beilock 2012) framhåller vikten av att ha en kombination av bedömningsmaterial för yngre elever.

 

Neuman (1987) undersökte sjuåringars taluppfattningar och hur dessa genomgick kvalitativa förbättringar och hur elevernas talbegrepp utvecklades. Hon konstaterar att det är viktigt att eleverna får lära sig att se strukturer i matematikuppgifter. Pettersson (1990) genomförde en longitudinell studie med nästan 10 000 elever och studerade deras kunskapsutveckling i matematik främst från årskurs 3 till årskurs 6. De fick lösa samma uppgifter i bägge årskurserna. Studien visar att de elever som i bägge årskurserna har låga resultat på uppgifterna har gjort allvarliga fel som bl.a. visar på stora brister i grundläggande kunskaper och färdigheter. En annan studie i mindre skala har utförts av Häggblom (2000), som studerade barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Hon fann att redan vid skolstarten visar eleverna stora variationer i att uppfatta och använda tal, och att från 6 till 7 års ålder utvecklas antalsräknandet mot större säkerhet liksom kunskaper om talramsan.

 

Under det senaste årtiondet har individuella skillnader i tidig taluppfattning och i grundläggande aritmetiska färdigheter kommit att uppmärksammas i allt större utsträckning (t.ex. Dowker, 2008, Durand, Hulme, Larkin och Snowling 2005, Koponen, Aunola, Ahonen och Nurmi 2007, Krajewski och Schneider 2009, Mazzocco och Thompson 2005, Van De Rijt,Van  Luit och Pennings 1999). Det nuvarande intresset är inriktat mot området tidiga prediktorer för matematiksvårigheter och förhoppningen är att om det går att arbeta med prediktorer, bestämningsfaktorer och kärnproblematik genom lärarfokuserade utvecklingsprogram så går det kanske att förhindra att barnen kommer efter, något som hävdas av DiPerna, Lei och Reid (2007), Dowker och Sigley (2010), Gersten, Jordan och Flojo (2005). Man hoppas också att lärarfokuserade utvecklingsprogram ska förhindra att eleverna utvecklar ett undvikande beteende för matematik eller matematikängslan (Ashcraft och Moore 2009). Lärarnas bedömningar anses vara absolut nödvändiga för att bekräfta provresultaten. Därför bör elevens lärare delta i varje steg av de individuella proven som används för hans eller hennes elever i skolans lägre årskurser. Läraren måste också vara med i diskussionen om svårigheterna beror enbart på speciella matematiksvårigheter eller på kombinerade inlärningssvårigheter, exempelvis inom läs- och/eller språkfärdigheter. Forskningen fortsätter att hävda att många barn med svårigheter inom aritmetik också har svårigheter inom läsning (Landerl och Moll, 2010). Därför kan vissa barn med en språknedsättning feldiagnostiseras som att de har inlärningssvårigheter inom matematik (Donlan, Cowan, Newton och Lloyd 2007, Koponen, Mononen, Räsänen och Ahonen 2006).

 

Missuppfattningar

Forskningslitteraturen har sedan länge betonat vikten av att utföra en korrekt bedömning av elevernas kunskaper och att diagnostisera missuppfattningar för att förstå elevernas sätt att tänka i matematik (Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson och Peled 1989).  Missuppfattningar kan bestå under långa tidsperioder (Eryilmaz 2002, Pettersson 1990). Det är därför viktigt att missuppfattningar upptäcks i ett tidigt skede, för att underlätta elevernas fortsatta kunskapsutveckling. Missuppfattningar kan medföra hinder för lärandet (Stafylidou och Vosniadou 2004). Exempelvis kan eleverna ha bestående missuppfattningar som rör tal i decimalform, exempelvis övergeneralisering av sin kunskap om heltal till att omfatta även tal i decimalform (t.ex. DeWolf och Vosniadou 2014, Irwin 2001, Resnick et al. 1989). Tyvärr kan missuppfattningar bli varaktiga och hindra fortsatt kunskapsutveckling (McNeil och Alibali, 2011). För att göra en korrekt bedömning av elevernas lärande är det viktigt att också diagnostisera missuppfattningar, så att man kan ta hänsyn till flera aspekter innan eleven diagnostiseras med inlärningssvårigheter (Durkin & Rittle-Johnson, 2015).

 

Att underprestera är inte nödvändigtvis en följd av bristande förmåga i matematik eftersom det finns många elever som underpresterar när det gäller prov men kan ändå uppvisa en godtagbar förmåga muntligt. Inlärningssvårigheter kan ibland vara kopplade till brist på erfarenhet, självförtroende, attityder eller språkproblem. Därför är identifiering i ett tidigt skede av den typ av svårigheter som enskilda barn kan ha ämnet för en mängd forskningslitteratur som tillkommit på senare tid. Många, t.ex. Aubrey och Godfrey (2003) har lagt fokus på yngre barn och vikten av en tidig identifiering av dessa barns Number sense [motsvarar, men är ett vidare begrepp än det svenska taluppfattning], och Aunio och Niemivirta (2010) diskuterar en prediktor på kort sikt, medan Aubrey, Dahl och Godfrey (2006) och Aunola, Leskinen, Lerkkanen och Nurmi 2004) tar upp ett mer långsiktigt perspektiv. Exempelvis har det visat sig att grundläggande räkne- och uppräkningsfärdigheter är prediktorer för aritmetisk kompetens längre fram i elevens lärande. Studier inom det här området är idag många och allmänt vedertagna t.ex. studier genomförda i Kanada (LeFevre et al. 2006), England (Aubrey och Godfrey 2003), Finland (Aunola et al. 2004), Flandern, (Desoete, Stock, Schepens, Baeyens och Roeyers 2009), Taiwan (Yang och Li 2008) och USA (Jordan, Kaplan, Locuniak och Ramineni  2007). Utan lämpliga insatser, som kan vara effektiva (Van Luit och Schopman 2000, Van Nes och Van Eerde 2010), är det därför sannolikt att barn som börjar skolan med dålig Number sense fortsätter att prestera på en låg nivå under hela skolgången (Aubrey, Dahl och Godfrey 2006, Geary 2013). Det här är viktigt i ljuset av forskningsresultat som visar att förvärvandet av Number sense kan vara kopplat till familjens socioekonomiska status i allmänhet (Melhuish, Sylva, Sammons, Siraj-Blatchford, Taggart, Phan och Malin 2008, Starkey, Klein och Wakeley 2004) och föräldrarnas utbildningsnivå i synnerhet (Ivrendi 2011, Penner och Paret 2008). 

 

Vikten av Number sense

Det är inte överraskande att Number sense är ett nyckelområde för många kursplaner i matematik för de lägre årskurserna och att Number sense också är i fokus vid bedömningar av elevernas prestationer (Howell och Kemp 2005, Yang och Li 2008). Number sense har av tradition stort utrymme i undervisningen för grundskolans lägre årskurser (Casey, Kersh och Young 2004). Man lägger då ofta fokus på grundläggande räkne- och uppräkningsfärdigheter, enkla konkreta aritmetiska uppgifter anpassade till yngre barn. Andrews och Sayers (2015), Sayers, Andrews och Björklund Boistrup (2016) betonar att forskningen har visat att Number sense är dåligt definierad som konstruktion och att det därför finns många uppfattningar om vad Number sense egentligen är. Exempelvis uppgav Griffin (2004) att ”Vi känner alla igen Number sense när vi ser den, men om vi ombads definiera vad den består av skulle de flesta av oss, inklusive lärarna ibland oss, ha mycket svårare att svara” (s. 173). Vidare anger McIntosh, Reys och Reys (1992, s. 3) att Number sense är ”en persons allmänna förståelse av tal och operationer jämte förmågan och benägenheten att använda den här förståelsen på flexibla sätt för att göra matematiska bedömningar och utveckla användbara strategier för att hantera tal och operationer”. Användning av mått på Number sense för att screena inlärningssvårigheter har erkänts som en lämplig form av testfokus (Chard, Clarke, Baker, Otterstedt, Braun och Katz 2005).

 

Materialet ”Stöd för bedömning i årskurs 1-3 i matematik” tar fasta på att en god taluppfattning är grundläggande för den fortsatta matematikinlärningen. Därför finns i materialet en progression av uppgifter som avser att pröva elevernas taluppfattning såväl muntligt som skriftligt. Men i materialet prövas på liknande sätt också elevernas kunskaper om olika räkneprinciper. Här stöder vi oss på forskning av Gelman och Gallistel (1978) som har urskiljt fem räkneprinciper, nämligen

• Abstraktionsprincipen som innebär att föremål som är väl avgränsade kan räknas
• Ett-till-ett-principen som innebär att ett föremål i en mängd kan bilda par med ett föremål i en annan mängd
• Principen om godtycklig ordning som innebär att när varje föremål i en mängd ska räknas kan det göras från vilket håll som helst. Denna princip hänger nära ihop med antalskonstans som betyder att det alltid är lika många i en mängd oberoende av hur dessa är grupperade
• Principen om räkneordens ordning som innebär att föremålen i en mängd måste räknas upp i en bestämd ordning
• Antalsprincipen eller kardinaltalsprincipen som innebär att varje föremål då det räknas ska paras ihop med ett räkneord och att det sista uppräknade räkneordet anger det totala antalet föremål som räknats.

 

Andrews och Sayers (2015) omfattande litteraturgenomgång visar på tre relaterade, men distinkta, stadier av vad Number sense är, oavsett forskningstradition. Den mest välkända Number sense-fasen beskrivs som tillämpad Number sense. Det är den fas som det kanske hänvisas till allra mest i Sverige genom den bok som har skrivits av McIntosh (2008) i samarbete med NCM. Tillämpad Number sense avser den centrala, talrelaterade förståelsen som genomsyrar allt matematiklärande (Faulkner 2009, Faulkner och Cain 2013, National Council of Teachers of Mathematics 1989). Med andra ord avser tillämpad Number sense talens relationskomponenter, som alla vuxna behöver för att fungera i samhället.  McIntosh, Reys och Reys (1992) beskrev detta som en ”grundläggande Number sense som alla vuxna behöver, oavsett yrke, och vars förvärvande för alla elever bör vara ett huvudsakligt mål för den obligatoriska utbildningen” (s. 3). Deras arbete återspeglar en samling insikter och färdigheter som gör det möjligt för en person att

titta på ett problem i sin helhet innan han eller hon tar itu med detaljerna, leta efter relationer bland tal och operationer och ta hänsyn till kontexten för en viss frågeställning, välja eller uppfinna en metod som drar fördel av personens egna kunskaper om relationerna mellan tal eller mellan tal och operationer och söka efter den mest effektiva representationen för den givna uppgiften, använda referenser för att bedöma talstorlek och känna igen orimliga resultat för beräkningar i den normala processen för reflektion kring svar (Reys 1994, s. 115).

 

Eftersom den tillämpade fasen är den sista i Andrews och Sayers (2015) Number sense-stadier är det centralt att lärare, pedagoger, provutvecklare och beslutsfattare är medvetna om vad som kommer före den och var vi kan göra den största insatsen.  De två stadier som föregår den tillämpade fasen belyser de viktiga element som leder till lämplig begreppsförståelse hos yngre barn och som återspeglar de områden som tas upp i det bedömningsstöd i matematik för årskurs 1-3, som har utvecklats av PRIM-gruppen.

 

Det första stadiet är Preverbal Numer sense (Butterworth 2005, Ivrendi 2011, Jung 2011, Lipton och Spelke 2005). Den återspeglar något som är medfött hos alla människor och omfattar en förståelse av små mängder som gör det möjligt att jämföra små tal. Ett exempel på detta är att ”6 månader gamla spädbarn kan skilja mellan antal med ett 1:2-förhållande, men inte ett 2:3-förhållande, medan 10 månader gamla spädbarn även lyckas med det senare” (Feigenson, Dehaene och Spelke 2004, s. 307). Barn i åldrarna 3 och 4 år kan emellertid korrekt uppskatta antalet hos mängder som består av upp till fem artiklar (Gelman och Tucker 1975, Nunes. Bryant, Evans, Bell, Gardner, Gardner och Carraher, 2007). Förmågan att skilja mellan olika antal, som ”blir mer precis under spädbarnsåren” (Lipton och Spelke 2005, s. 978), underbygger alltså de verbala räknefärdigheterna (Gallistel och Gelman 1992, 2000, Fuson 1988) och de aritmetiska färdigheterna (Zur och Gelman 2004). Skillnaden mellan den här fasen och nästa, Grundläggande Number sense, är att den är oberoende av formell utbildning och utvecklas som en medfödd konsekvens av människors och andra arters evolution (Dehaene 2001, Feigenson et al. 2004). Forskning pågår fortfarande med medfödd Number sense hos spädbarn och små förskolebarn (Aunio och Räsänen 2015, Lyons och Ansari 2015). Det gäller särskilt forskning om inlärningssvårigheter, såsom autism.

 

Det finns naturligtvis gråzoner där åtskillnaden mellan de delar av Number sense som är medfödda och de som inte är det är otydlig. Exempelvis har det hävdats att barn vid fyra eller fem års ålder normalt har förvärvat sina första räknefärdigheter och en medvetenhet om antal som gör det möjligt för dem att svara på frågor om mer eller mindre, medan de till skolstarten vanligtvis har förvärvat en mental tallinje (Aunio, Niemivirta, Hautamäki, van Luit, Shi och Zhang 2006, Griffin 2004). Sådana talrelaterade insikter är emellertid ofta beroende av familjebakgrund (Zur och Gelman 2004), vilket tyder på att utbildning, vare sig den är implicit eller explicit, kan vara nödvändig för att talrelaterade insikter ska utvecklas. Yngre barn från familjer med hög socioekonomisk status (SES) lyckas dessutom fem gånger bättre än barn från familjer med låg SES i uppgifter av typen ”Vilket tal är störst, 5 eller 4?”  (Griffin, Case och Siegler, 1994 ). Här finns utrymme för insatser, särskilt då ”aspekter av utvecklingen av Number sense kan vara kopplade till hur mycket informell utbildning eleverna får hemma när det gäller talbegrepp” (Gersten et al. 2005, s. 297).

 

Samtidigt som man framhåller behovet av matematikundervisning av god kvalitet, finns det ett behov av att identifiera tidig Number sense hos elever, något som Andrews och Sayers definierar som grundläggande Number sense (FoNS, Foundational Number Sense), den andra fasen. Identifiering av vad eleverna vet och inte vet om tal i årskurs ett kan följaktligen leda till att lärarna får stöd i framtagningen av tydlig planering under hela det första skolåret. Om vi accepterar FoNS som ett stadium som eleverna i årskurs ett ska nå tillhandahåller Andrews och Sayers (2015) ett användbart ramverk bestående av åtta kategorier, baserade på den otaliga mängd forskning inom psykologi, matematikundervisning, inlärningssvårigheter och allmän utbildning, som särskilt bygger på barnens preverbala Number sense. Det här ramverket är en bra utgångspunkt som grund och fokus för lärarnas arbete med att identifiera, planera och organisera lämpligt material för att överbrygga eventuella klyftor som upptäckts vid arbetet med bedömningsstödet i matematik.

 

Med stöd av bedömningsstödet i matematik för årskurs 1-3 kan lärarna stödjas i sina främjande arbeten för att alla barn ska ha uppnått FoNS-medvetenhet vid slutet av årskurs ett. Nedanstående åtta kategorier är tagna ur en litteraturanalys utförd av Sayers et al. (2016). Dessa kategorier har samband med varandra eftersom Number sense:

bygger på många kopplingar bland matematiska relationer, matematiska principer ... och matematiska procedurer. Kopplingarna fungerar som väsentliga verktyg för att hjälpa eleverna att tänka kring matematiska problemställningar och utveckla insikter av en högre ordning när de arbetar med matematiska problemställningar (Gersten et al. 2005, s. 297).

Det är viktigt att uppmärksamma och uppmuntra till att se dessa kopplingar, annars finns det en risk att barn har kompetens att räkna, men inte vet t.ex. att fyra är större än två (Okamoto och Case 1996). 

 

De åtta kategorierna för FoNS-medvetna barn är följande:

1. Igenkänning av tal: Klarar att känna igen siffersymboler och känner till deras tillhörande vokabulär och innebörd (Malofeeva, Day, Saco, Young och Ciancio 2004). Kan både identifiera en viss siffersymbol från en samling siffersymboler och säga namnet på ett tal när den symbolen visas (Clarke och Shinn 2004, Gersten et al. 2005, Van de Rijt et al. 1999, Yang och Li 2008). Barn som upplever svårigheter med att känna igen tal upplever i allmänhet senare att de har problem med matematik (Lembke och Foegen 2009) och särskilt med subitisering (Koontz och Berch 1996, Stock, Desoete och Roeyers, 2010). Däremot har barn, som känner igen tal, bättre förmåga att hantera flersiffrig aritmetik än de som inte känner igen tal (Desoete et al. 2012, Krajewski och Schneider 2009). Sådana färdigheter är bättre prediktorer för senare matematikresultat än både allmänna intelligensmått och tidigare resultatpoäng (Geary, Bailey och Hoard 2009), och kan få effekter som varar så länge som till ungdomsåren (Geary 2013).

 

2. Systematisk räkning: Kan räkna systematiskt (Berch 2005, Clarke och Shinn 2004, Gersten et al. 2005, Griffin 2004, Van de Rijt et al. 1999) och förstå ordinalitet (Ivrendi 2011, Jordan, Kaplan, Nabors Oláh och Locuniak 2006, LeFevre et al. 2006, Malofeeva et al. 2004, Van Luit och Schopman 2000). Räknar till tjugo och tillbaka eller räknar uppåt och baklänges från en godtycklig startpunkt (Jordan och Levine 2009, Lipton och Spelke 2005), med vetskapen att varje tal upptar en fast position i hela talföljden (Griffin et al. 1994). Färdigheterna i symbolisk talordning underbygger senare aritmetisk kompetens i allmänhet (Gersten et al. 2005, Passolunghi, Vercelloni och Schadee 2007, Stock et al. 2010) och mental aritmetisk kompetens i synnerhet (Lyons och Beilock 2011).

 

3. Medvetenhet om relationen mellan tal och antal:Visar förståelse för relationen mellan tal och antal. I synnerhet förstår de inte bara ett-till-ett-förhållandet mellan ett tals namn och det antal som det representerar, utan även att det sista talet i en uppräkning representerar det totala antalet föremål, ordinalitet (Jordan och Levine 2009, Malofeeva et al. 2004, Van Luit och Schopman 2000). Motsvarigheten mellan ett tals namn eller symbol och det antal som det representerar är i allt väsentligt en mänsklig uppfinning och fordrar därför utbildning för att eleverna ska förstå den (Geary 2013). Barn som har svårigheter med den här processen tenderar att uppleva matematiksvårigheter i ett senare skede (Kroesbergen, Van Luit, Van Lieshout, Van Loosbroek och Van de Rijt  2009, Mazzocco, Feigenson och Halberda 2011).

 

4. Urskiljande av antal: Visar förståelse för storlek och kan jämföra olika storlekar (Clarke och Shinn 2004, Griffin 2004, Ivrendi 2011, Jordan et al. 2006, Jordan och Levine 2009, Yang och Li 2008). Använder språk som ”större än” och ”mindre än” (Gersten et al. 2005) och förstår att åtta representerar ett antal som är större än sex men mindre än tio (Baroody och Wilkins 1999, Lembke och Foegen 2009). Barn som har storleksmedvetenhet har gått vidare från att räkna som ”en memorerad lista och en mekanisk rutin, utan att fästa någon känsla för talstorlek vid orden” (Lipton och Spelke 2005, s. 979). Storleksmedvetenhet har även visat sig vara en prediktor, oberoende av förmåga eller ålder, för mer allmänna matematiska prestationer (Aunio och Niemivirta 2010, De Smedt, Verschaffel och Ghesquière 2009, De Smedt, Noel, Gilmore & Ansari 2013, Desoete et al. 2012, Holloway och Ansari 2009, Nan, Knösche och Luo 2006, Stock et al. 2010).

 

5. Förståelse av olika representationer av tal: Visar förståelse för att tal kan representeras på olika sätt (Ivrendi 2011, Jordan et al. 2007, Yang och Li 2008) och att de här representationerna ”fungerar som olika referenspunkter” (Van Nes och Van Eerde 2010, s. 146). Ju bättre barn exempelvis förstår en tallinje desto bättre kommer de senare att prestera inom aritmetik (Booth och Siegler 2006, 2008, Siegler och Booth 2004). Ju bättre ett barn exempelvis förstår en delning som en representation av ett tal för att kunna subitisera begreppsmässigt (Benoit, Lehalle och Jouen 2004, Clements, 1999, Clements och Samara, 2007, Conderman, Jung och Hartman 2014, Sayers et al, 2016), desto bättre utvecklas det barnets förståelse av sifferstrukturer (Mulligan, Mitchelmore, English och Crevensten, 2013) och aritmetiska färdigheter (Hunting 2003). Ju mer kompetens ett barn har när det gäller att använda fingrarna både vid räkning och tidig aritmetik, (Gracia-Bafalluy och Noël 2008), desto mer kompetent blir barnet under senare år (Fayol, Barroillet och Marinthe 1998, Noël 2005). Något som är av stor betydelse är att användning av fingerstrategier ökar med högre socioekonomisk status, vilket motiverar målinriktade insatser (Jordan et al. 1992, Levine, Jordan och Huttenlocher 1992). Användning av laborativt material, särskilt hopfogbara klossar, underlättar räkning och identifiering av fel (Van Nes och Van Eerde 2010). Ju bättre koppling mellan olika representationer, desto större sannolikhet är det alltså att barnet ska få aritmetiskt kompetens (Mundy och Gilmore 2009, Richardson 2004, Van Nes och De Lange 2007, Van Nes och Van Eerde 2010).

 

6. Uppskattning: Klarar att göra uppskattningar, oavsett om det gäller storlek på en uppsättning (Berch 2005, Jordan et al. 2006, 2007, Kalchman, Moss och Case 2001, Malofeeva et al 2004, Van de Rijt et al. 1999) eller på ett föremål (Ivrendi 2011). Uppskattning innebär att man rör sig mellan representationer – ibland samma, ibland olika – av tal, t.ex. genom att placera ett tal på en tom tallinje (Booth och Siegler 2006). Uppskattningsfärdigheterna är emellertid beroende av barnets räknefärdigheter (Lipton och Spelke 2005). Uppskattning tros vara en avgörande bestämningsfaktor för senare aritmetisk kompetens, särskilt med avseende på nya situationer (Booth och Siegler 2008, Gersten et al. 2005, Holloway och Ansari 2009, Libertus, Feigenson och Halberda 2011, Siegler och Booth 2004).

 

7. Enkel aritmetisk kompetens: Kan utföra enkla aritmetiska operationer (Ivrendi 2011, Jordan och Levine 2009, Baroody, 2004, Malofeeva et al. 2004, Yang och Li 2008), färdigheter som underbygger senare behärskande av aritmetik och matematik (Berch 2005, Dehaene 2001, Jordan et al. 2007). Det har faktiskt visat sig att enkel aritmetisk kompetens, som Jordan och Levine (2009) beskriver som omvandlingen av små uppsättningar genom addition och subtraktion, i årskurs ett är en starkare prediktor för senare framgång inom matematik än allmänna intelligensmått (Geary et al. 2009, Krajewski och Schneider 2009). Baserat på deras experiment med att kombinera fysiska föremål kunde det emellertid fastställas att barns förmåga att lösa icke-verbala problem utvecklas före förmågan att lösa jämförbara textuppgifter (Levine et al. 1992).

 

8. Medvetenhet om talmönster: Visar förståelse för och känner igen talmönster och kan i synnerhet bestämma vilket tal som saknas (Berch 2005, Clarke och Shinn, 2004, Gersten et al. 2005, Jordan et al. 2006, 2007). Sådana färdigheter förstärker räknefärdigheter och underlättar aritmetiska operationer i ett senare skede (Van Luit och Schopman 2000). Ett viktigt rön var att misslyckande med att identifiera ett tal som saknas i en talföljd är en av de starkaste indikatorerna för senare matematiksvårigheter (Chard et al. 2005, Clarke och Shinn 2004, Gersten et al. 2005, Lembke och Foegen 2009).

 

Bygga vidare på tidigare kunskap

Som tidigare poängterats är de åtta kategorierna ovan inte exklusiva, utan de överlappar varandra på flera sätt, eftersom mycket beror på vilken talkonstruktion som utvecklas hos barnen och på vilken nivå läraren arbetar med dem. Det här kan t.ex. bero på flera komponenter: vilken representation av talet som undersöks, vilken aktivitet som genomförs, vilket laborativt material som används för att utforska talet eller talen, vilken kompetens som används i verksamhet där det är upp till läraren att bestämma tonvikten för hur klassen, gruppen eller den enskilde eleven behöver utvecklas.  Om medfödd Number sense kan identifieras som något att bygga vidare på bör de här kategorierna göra processen med att identifiera elever i riskzonen mer genomförbar, men även identifiering av elever som behöver mer utmaningar bör vara möjlig.

 

Lärare kan använda idéer från olika bedömningsmaterial exempelvis bedömningsstödet i matematik för årskurs 1-3, för att bedöma elevernas tidigare förståelse och fastställa det undervisningsstöd, som behövs för att hjälpa elever att utvecklas (Clarke, Doabler, Nelson och Shanley 2015). De uppgifter som finns i bedömningsstödet i matematik för årskurs 1-3  kan uppmuntra och återaktivera tidigare kunskap där tydliga kopplingar kan göras till flera kategorier inom FoNS. Genom fokuserade aktiviteter i bedömningsstödet i matematik för årskurs 1-3  får lärarna ytterligare stöd i sin diagnostiska bedömning av hur barn ”kan” och visar förståelse för specifika talkomponenter, och lärarna kan ställa relevanta frågor för att identifiera eventuella problem som uppstår.

 

REFERENSER

Andrews, P. & Sayers, J. (2015) Identifying Opportunities for Grade One Children to Acquire Foundational Number Sense: Developing a Framework for Cross Cultural Classroom Analyses. Early Childhood Education Journal. 43:257–267. DOI 10.1007/s10643-014-0653-6

Ashcraft, M. H., & Moore, A. M. (2009). Mathematics Anxiety and the Affective Drop in Performance. Journal of Psychoeducational Assessment, 27, 197–205. http://doi.org/10.1177/0734282908330580

Aubrey, C., & Godfrey, R. (2003). The development of children's early numeracy through key stage 1. British Educational Research Journal, 29(6), 821-840.

Aubrey, C., Dahl, S., & Godfrey, R. (2006). Early mathematics development and later achievement: Further evidence. Mathematics Education Research Journal, 18(1), 27-46.

Aunio, P & Räsänen, P (2015): Core numerical skills for learning mathematics in children aged five to eight years – a working model for educators, European Early Childhood Education Research Journal, DOI: 10.1080/1350293X.2014.996424

Aunio, P., & Niemivirta, M. (2010). Predicting children's mathematical performance in grade one by early numeracy. Learning and Individual Differences, 20(5), 427-435.

Aunola, K., Leskinen, E., Lerkkanen, M.-K., & Nurmi, J.-E. (2004). Developmental dynamics of math performance from preschool to grade 2. Journal of Educational Psychology, 96(4), 699-713.

Aunio, P., Niemivirta, M., Hautamäki, J., Van Luit, J. E. H., Shi, J., & Zhang, M. (2006). Young Children’s Number Sense in China and Finland. Scandinavian Journal of Educational Research, 50, 483–502. http://doi.org/10.1080/00313830600953576

Baroody, A. (2004). The developmental bases for early childhood number and operations standards In D. Clements & J. Sarama (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education (pp. 173-219). Mahwah: Lawrence Erlbaum.

Baroody, A., & Wilkins, J. (1999). The development of informal counting, number, and arithmetic skills and concepts. In J. Copley (Ed.), Mathematics in the early years (pp. 48-65). Reston: National Council of Teachers of Mathematics.

Benoit, L., Lehalle, H., & Jouen, F. (2004). Do young children acquire number words through subitizing or counting? Cognitive Development 19(3), 291-307.

Berch, D. B. (2005). Making sense of number sense. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 333-339.

Booth, J., & Siegler, R. (2006). Developmental and individual differences in pure numerical estimation. Developmental Psychology, 42(1), 189-201.

Booth, J., & Siegler, R. (2008). Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development, 79(4), 1016-1031.

Bruner, J. S. (1966). Towards a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Butterworth, B. (2005). The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology and Psychiatry, 46(1), 3-18.

Casey, B., Kersh, J., & Young, J. (2004). Storytelling sagas: An effective medium for teaching early childhood mathematics. Early Childhood Research Quarterly, 19(1), 167-172.

Chard, D., Clarke, B., Baker, S., Otterstedt, J., Braun, D., & Katz, R. (2005). Using measures of number sense to screen for difficulties in mathematics: Preliminary findings. Assessment for Effective Intervention, 30(2), 3-14.

Clarke, B., & Shinn, M. (2004). A preliminary investigation into the identification and development of early mathematics curriculum-based measurement. School Psychology Review, 33(2), 234-248.

Clarke, B., Doabler, C. T., Nelson, N. J., & Shanley, C. (2015). Effective Instructional Strategies for Kindergarten and First-Grade Students at Risk in Mathematics. Intervention in School and Clinic, 50(5), 257-265.

Clements, D. (1999). Subitizing. What is it? Why teach it? Teaching Children Mathematics, 5(7), 400-405.

Clements, D., & Sarama, J. (2007). Early childhood mathematics learning. In F. Lester (Ed.), Handbook of research on teaching and learning mathematics (pp. 461-555). Greenwich, CT: Information Age Publishing.

Conderman, G., Jung, M., & Hartman, P. (2014). Subitizing and early mathematics standards: A winning combination. Kappa Delta Pi Record, 50(1), 18-23.

De Smedt, B., Noël, M.-P., Gilmore, C., & Ansari, D. (2013). How do symbolic and non-symbolic numerical magnitude processing skills relate to individual differences in children's mathematical skills? A review of evidence from brain and behavior. Trends in Neuroscience and Education, 2(2), 48-55.

De Smedt, B., Verschaffel, L., & Ghesquière, P. (2009). The predictive value of numerical magnitude comparison for individual differences in mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology, 103(4), 469-479.

Dehaene, S. (2001). Précis of the number sense. Mind & Language, 16(1), 16-36.

Desoete, A., Ceulemans, A., De Weerdt, F., & Pieters, S. (2012). Can we predict mathematical learning disabilities from symbolic and non-symbolic comparison tasks in kindergarten? Findings from a longitudinal study. British Journal of Educational Psychology, 82(1), 64-81.

Desoete, A., Stock, P., Schepens, A., Baeyens, D., & Roeyers, H. (2009). Classification, seriation, and counting in grades 1, 2, and 3 as two-year longitudinal predictors for low achieving in numerical facility and arithmetical achievement? Journal of Psychoeducational Assessment, 27(3), 252-264.

DeWolf, M., & Vosniadou, S. (2014). The representation of fraction magnitudes and the whole number bias reconsidered. Learning and Instruction. Advance online publication, http://dx.doi.org/10.1016/j.learninstruc.2014.07.002.

DiPerna, J. C., Lei, P. W., & Reid, E. E. (2007). Kindergarten predictors of mathematical growth in the primary grades: An investigation using the Early Childhood Longitudinal Study--Kindergarten cohort. Journal of Educational psychology, 99(2), 369.

Donlan, C., Cowan, R., Newton, E. J., & Lloyd, D. (2007). The role of language in mathematical development: Evidence from children with specific language impair- ments. Cognition, 103, 23–33. doi:10.1016/j.cognition. 2006.02.007

Dowker, A. D. (2008). Individual differences in numerical preschoolers. Developmental Science, 11, 650–654.

Dowker, A., & Sigley, G. (2010). Targeted interventions for children with arithmetical difficulties. British Journal of Educational Psychology, 2(7), 65.

Durand, M., Hulme, C., Larkin, R., & Snowling, M. (2005). The cognitive foundations of reading and arithmetic skills in 7- to 10-year-olds. Journal of Experimental Child Psychology, 91, 113–136.

Durkin, K., & Rittle-Johnson, B. (2015). Diagnosing misconceptions: Revealing changing decimal fraction knowledge. Learning and Instruction, 37, 21-29. Fayol, M., Barrouillet, P., & Marinthe, C. (1998). Predicting arithmetical achievement from neuro-psychological performance: a longitudinal study. Cognition, 68(2), B63-B70

Eryilmaz, A. (2002). Effects of conceptual assignments and conceptual change discussions on students' misconceptions and achievement regarding force and motion. Journal of Research in Science Teaching, 39, 1001e1015. http://dx.doi.org/ 10.1002/tea.10054.

Faulkner, V. (2009). The components of number sense. Teaching Exceptional Children, 41(5), 24-30

Faulkner, V., & Cain, C. (2013). Improving the mathematical content knowledge of general and special educators: evaluating a professional development module that focuses on number sense. Teacher Education and Special Education: The Journal of the Teacher Education Division of the Council for Exceptional Children, 36(2),115-131.

Fayol, M., Barrouillet, P., & Marinthe, C. (1998). Predicting arithmetical achievement from neuro-psychological performance: a longitudinal study. Cognition, 68(2), B63-B70

Feigenson, L., Dehaene, S., & Spelke, E. (2004). Core systems of number. Trends in Cognitive Sciences, 8(7), 307-314.

Fuson, K. (1988). Children’s counting and concept of number. New York, NY: Springer-Verlag.

Geary, D. C. (2013). Early foundations for mathematics learning and their relations to learning disabilities. Current Directions in Psychological Science, 22(1), 23-27.

Geary, D., Bailey, D., & Hoard, M. (2009). Predicting mathematical achievement and mathematical learning disability with a simple screening tool. Journal of Psychoeducational Assessment, 27(3), 265-279.

Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1992). Preverbal and verbal counting and computation. Cognition, 44, 43–74. doi:10.1016/0010-0277(92)90050-R

Gallistel, C., & Gelman, R. (2000). Non-verbal numerical cognition: From reals to integers. Trends in Cognitive Sciences, 4(2), 59-65.

Gelman, R. & Gallistel, C.R. (1978). The Child´s Understanding of Number. Cambridge, Mass: Harvard University Press.

Gelman, R., & Tucker, M. (1975). Further investigations of the young child's conception of number. Child Development, 46(1), 167-175.

Gersten, R., Jordan, N., & Flojo, J. (2005). Early identification and interventions for students with mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 293-304.

Gracia-Bafalluy, M., & Noël, M.P. (2008). Does finger training increase young children's numerical performance? Cortex, 44(4), 368-375.

Griffin, S. (2004). Building number sense with Number Worlds: A mathematics program for young children. Early Childhood Research Quarterly, 19(1), 173-180.

Griffin, S., Case, R., & Siegler, R. (1994). Rightstart: Providing the central conceptual prerequisites for first formal learning of arithmetic to students at risk for school failure. In K. McGilly (Ed.), Classroom lessons: Integrating cognitive theory and classroom practice (pp. 24-49). Cambridge MA: MIT Press.

Holloway, I., & Ansari, D. (2009). Mapping numerical magnitudes onto symbols: The numerical distance effect and individual differences in children’s mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology, 103(1), 17-29.

Howell, S., & Kemp, C. (2005). Defining early number sense: A participatory Australian study. Educational Psychology, 25(5), 555-571.

Hunting, R. (2003). Part-whole number knowledge in preschool children. Journal of Mathematical Behavior, 22(3), 217-235.

Häggblom, L. (2000). Räknespår. Barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Åbo: Åbo Akademi University Press.

Irwin, K. C. (2001). Using everyday knowledge of decimals to enhance under- standing. Journal for Research in Mathematics Education, 32, 399e420. http:// dx.doi.org/10.2307/749701.

Ivrendi, A. (2011). Influence of self-regulation on the development of children’s number sense. Early Childhood Education Journal, 39(4), 239-247.

Jordan, N., & Levine, S. (2009). Socioeconomic variation, number competence, and mathematics learning difficulties in young children. Developmental Disabilities Research Reviews, 15(1), 60-68.

Jordan, N., Huttenlocher, J., & Levine, S. (1992). Differential calculation abilities in young children from middle- and low-income families. Developmental Psychology, 28(4), 644-653.

Jordan, N., Kaplan, D., Nabors Oláh, L. & Locuniak, M. (2006). Number sense growth in kindergarten: A longitudinal investigation of children at risk for mathematics difficulties. Child Development, 77(1), 153-175

Jordan, N., Kaplan, D., Locuniak, M., & Ramineni, C. (2007). Predicting first-grade math achievement from developmental number sense trajectories. Learning Disabilities Research & Practice, 22(1), 36-46.

Jordan, N., Kaplan, D., Ramineni, C., & Locuniak, M. (2009). Early math matters: Kindergarten number competence and later mathematics outcomes. Developmental Psychology, 45(3), 850-867.

Jung, M. (2011). Number relationships in a preschool classroom. Teaching Children Mathematics, 17(9), 550-557.

Kalchman, M., Moss, J., & Case, R. (2001). Psychological models for the development of mathematical understanding: Rational numbers and functions. In S. Carver & D. Klahr (Eds.), Cognition and Instruction: Twenty-Five Years of Progress. Mahwah: Lawrence Erlbaum.

Koontz, K., & Berch, D. (1996). Identifying simple numerical stimuli: Processing inefficiencies exhibited arithmetic learning disabled children. Mathematical Cognition, 2(1), 1-23.

Koponen, T., Aunola, K., Ahonen, T., & Nurmi, J.-E. (2007). Cognitive predictors of single-digit and procedural calculation skills and their covariance with reading skill. Journal of Experimental Child Psychology, 97, 220–241.

Koponen,T.,Mononen,R.,Räsänen,P.,& Ahonen,T. (2006). Basic numeracy in children with specific language impairment: Heterogeneity and connections to language. Journal of Speech, Language and Hearing Research, 49, 58–73. doi:10.1044/1092-4388(2006/005)

Krajewski, K., & Schneider, W. (2009). Early development of quantity to number-word linkage as a precursor of mathematical school achievement and mathematical difficulties: Findings from a four-year longitudinal study. Learning and Instruction, 19(6), 513-526.

Kroesbergen, E., Van Luit, J., Van Lieshout, E., Van Loosbroek, E., & Van de Rijt, B. (2009). Individual differences in early numeracy. Journal of Psychoeducational Assessment, 27(3), 226-236.

Landerl, K., & Moll, K. (2010). Comorbidity of learning disorders: Prevalence and familial transmission. Journal of Child Psychology and Psychiatri, 51(3), 287-294.

LeFevre, J.-A., Smith-Chant, B., Fast, L., Skwarchuk, S.-L., Sargla, E., Arnup, J. et al. (2006). What counts as knowing? The development of conceptual and procedural knowledge of counting from kindergarten through Grade 2. Journal of Experimental Child Psychology, 93(4), 285-303.

Lembke, E., & Foegen, A. (2009). Identifying early numeracy indicators for kindergarten and first-grade students. Learning Disabilities Research & Practice, 24(1), 12-20.

Levine, S., Jordan, N., & Huttenlocher, J. (1992). Development of calculation abilities in young children. Journal of Experimental Child Psychology, 53(1), 72-103.

Libertus, M. E., Feigenson, L., & Halberda, J. (2011). Preschool acuity of the approximate number system correlates with school math ability. Developmental Science, 14(6), 1292-1300.

Lipton, J., & Spelke, E. (2005). Preschool children's mapping of number words to nonsymbolic numerosities. Child Development, 76(5), 978-988.

Lyons, I. M., & Ansari, D. (2015). Chapter Three-Foundations of Children's Numerical and Mathematical Skills: The Roles of Symbolic and Nonsymbolic Representations of Numerical Magnitude. Advances in child development and behavior, 48, 93-116.

Lyons, I., & Beilock, S. (2011). Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence. Cognition, 121(2), 256-261.

Malofeeva, E., Day, J., Saco, X., Young, L., & Ciancio, D. (2004). Construction and evaluation of a number sense test with Head Start children. Journal of Educational Psychology, 96(4), 648-659.

Maloney, E. A., & Beilock, S. L. (2012). Math anxiety: Who has it, why it develops, and how to guard against it. Trends in cognitive sciences, 16(8), 404-406.

Mazzocco, M. M., & Thompson, R. E. (2005). Kindergarten predictors of math learning disability. Learning Disabilities Research and Practice, 20(3), 142-155.

Mazzocco, M. M., Feigenson, L., & Halberda, J. (2011). Preschoolers’ precision of the approximate number system predicts later school mathematics performance. PLoS One, 6(9), e23749.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok. NCM, Göteborgs universitet.

McIntosh, A., Reys, B., & Reys, R. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8.

McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2005). Why won't you change your mind? Knowledge of operational patterns hinders learning and performance on equations. Child development, 76(4), 883-899.

McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2011). Knowledge Change as a Function of Mathematics Experience: All Contexts are Not Created Equal. Journal of Cognition and Development, 6, 285–306. http://doi.org/10.1207/s15327647jcd0602_6

Melhuish, E. C., Sylva, K., Sammons, P., Siraj-Blatchford, I., Taggart, B., Phan, M. B., & Malin, A. (2008). Preschool Influences on mathematics achievement. Science, 321, 1161–1162.

Mulligan, J. T., Mitchelmore, M. C., English, L. D., & Crevensten, N. (2013). Reconceptualizing early mathematics learning: The fundamental role of pattern and structure. In Reconceptualizing early mathematics learning (pp. 47-66). Springer Netherlands.

Mundy, E., & Gilmore, C. (2009). Children's mapping between symbolic and nonsymbolic representations of number. Journal of Experimental Child Psychology, 103(4), 490-502.

Nan, Y., Knösche, T., & Luo, Y.J. (2006). Counting in everyday life: Discrimination and enumeration. Neuropsychologica, 44(7), 1103-1113.

National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston: NCTM.

Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills. A phenomenographic approach. Göteborg Studies in Educational Sciences 62. Acta Universitatis Gothoburgensis.

Noël, M.P. (2005). Finger gnosia: A predictor of numerical abilities in children? Child Neuropsychology, 11(5), 413-430.

Nunes, T., Bryant, P., Evans, D., Bell, D., Gardner, S., Gardner, A., & Carraher, J. (2007). The contribution of logical reasoning to the learning of mathematics in primary school. British Journal of Developmental Psychology, 25(1), 147-166.

Okamoto, Y., & Case, R. (1996). Exploring the microstructure of children’s central conceptual structures in the domain of number. In R. Case, Y. Okamoto, G. Sharon, A. McKeough, C. Bleiker, B. Henderson, K. Stephenson, R. Siegler & D. Keating (Eds.), The role of central conceptual structures in the development of children's thought (pp. 27-58): Wiley on behalf of the Society for Research in Child Development.

Passolunghi, M., Vercelloni, B., & Schadee, H. (2007). The precursors of mathematics learning: Working memory, phonological ability and numerical competence. Cognitive Development, 22(2), 165-184.

Penner, A. M., & Paret, M. (2008). Gender differences in mathematics achievement: Exploring the early grades and the extremes. Social Science Research, 37(1), 239-253.

Pettersson, A. (1990). Att utvecklas i matematik. En studie av elever med olika prestationsutveckling. Stockholm: Almqvist & Wiksell International.

Reys, B. J. (1994). Promoting number sense in middle grades. Teaching Mathematics in the Middle School, 1(2), 114–120.

Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989). Conceptual bases of arithmetic errors: the case of decimal fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 8e27. http://dx.doi.org/10.2307/749095.

Richardson, K. (2004). Making sense. In D. Clements & J. Sarama (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics (pp. 321-324). Mahwah: Lawrence Erlbaum.

Sayers, J., Andrews, P., & Björklund Boistrup, L. (2016). The role of conceptual subitising in the development of foundational number sense. In T. Meaney (Ed.), Early Mathematics Learning. New York: Springer. (in press).

Siegler, R., & Booth, J. (2004). Development of numerical estimation in young children. Child Development, 75(2), 428-444.

Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students' understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14, 503e518. http:// dx.doi.org/10.1016/j.learninstruc.2004.06.015.

Starkey, P., Klein, A., & Wakeley, A. (2004). Enhancing young children’s mathematical knowledge through a pre-kindergarten mathematics intervention. Early Childhood Research Quarterly, 19, 99–120. http://doi.org/10.1016/j.ecresq.2004.01.002

Stock, P., Desoete, A., & Roeyers, H. (2010). Detecting children with arithmetic disabilities from kindergarten: Evidence from a 3-year longitudinal study on the role of preparatory arithmetic abilities. Journal of Learning Disabilities, 43(3), 250-268.

Van de Rijt, B., Van Luit, J., & Pennings, A. (1999). The construction of the Utrecht early mathematical competence scale. Educational and Psychological Measurement, 59(2), 289-309.

Van Luit, J., & Schopman, E. (2000). Improving early numeracy of young children with special educational needs. Remedial and Special Education, 21(1), 27-40.

Van Nes, F., & De Lange, J. (2007). Mathematics education and neurosciences: Relating spatial structures to the development of spatial sense and number sense. The Montana Mathematics Enthusiast, 4(2), 210-229.

Van Nes, F., & Van Eerde, D. (2010). Spatial structuring and the development of number sense: A case study of young children working with blocks. The Journal of Mathematical Behavior, 29(2), 145-159.

Yang, D.C., & Li, M.N. (2008). An investigation of 3rd-grade Taiwanese students' performance in number sense. Educational Studies, 34(5), 443-455.

Zur, O., & Gelman, R. (2004). Young children can add and subtract by predicting and checking. Early Childhood Research Quarterly, 19(1), 121-137.