Forskningsprojekt Nya spektralolikheter för områden och grafer

Egenvärden till differentialekvationer har en betydande roll i beskrivningen av otaliga processer inom naturvetenskap och teknik. Deras matematiska studium går åtminstone tillbaka till Lord Rayleighs berömda bok The Theory of Sound, men det matematiska området som sysslar med dem – den så kallade spektralteorin – är fortfarande ytterst livligt och inspireras om och om igen av nya problem från bland annat fysik och ingenjörsvetenskap.

Forskningsprojektet som beskrivs här fokuserar på egenvärden till Laplace- och Schrödingerdifferentialekvationerna. Egenvärdena till Laplaceekvationen beskriver frekvenser av vibrerande strängar eller membran som till exempel en trumma. Egenvärdena till Schrödingerekvationen motsvarar energierna av kvantmekaniska partiklar under inflytande av en elektrisk potential. Eftersom egenvärdesekvationer bara kan lösas exakt i väldigt enkla geometriska situationer har kvalitativ och kvantitativ undersökning av egenvärden med teoretiska metoder från matematisk analys och operatorteori en särskilt stor betydelse.

Det här projektets mål är att etablera olikheter mellan egenvärden för olika fysikaliska konstellationer. Till exempel jämförs egenvärdena till Laplaceekvationen med Dirichletrandvärden med egenvärdena till Laplaceekvationen med blandade Dirichlet-Neumannrandvärden. Det motsvarar svängningsfrekvenserna hos ett membran som sätts fast på hela randen respektive som sätts fast bara på en del. Sådana jämförelseprinciper tillämpades till exempel för kort tid sedan för att bevisa den så kallade hot spotsförmodan i speciella geometriska situationer. Denna förmodan handlar om temperaturdistributionen på långt sikt inom en värmeisolerad skiva.

En ytterligare aspekt är utvecklingen av spektralolikheter för så kallade kvantgrafer som tjänar som modeller för beskrivningen av kvantfysikaliska processer på nätverkliknande strukturer som till exempel kvantkablar eller fotoniska kristaller. Matematiska undersökningar av kvantgrafer utgör ett ytterst aktivt och livligt område inom samtida matematisk fysik. De innehåller särskilda matematiska utmaningar på grund av det stora inflytande grafernas topologiska och kombinatoriska egenskaper har.